Kolmnurga pindala arvutamine võib esmapilgul tunduda igava koolitarkusena, mis ununeb kohe pärast matemaatika lõpueksamit, kuid tegelikkuses on see üks praktilisemaid oskusi, mida elus vaja võib minna. Olgu tegemist kodu remondiga, katusealuse viimistlemisega, aia planeerimisega või isegi lihtsa kanga lõikamisega õmblustöödeks – kolmnurksed kujundid on meie ümber kõikjal. Sageli tekib olukord, kus on vaja kiiresti ja täpselt teada, mitu ruutmeetrit materjali kulub või kui suur on konkreetne maatükk. Õnneks ei pea pindala leidmiseks olema matemaatikaprofessor. Eksisteerib mitmeid erinevaid meetodeid, mis sõltuvad sellest, millised andmed on teil parajasti teada. Selles põhjalikus juhendis teeme asja n-ö puust ja punaseks, vaadates läbi nii kõige lihtsamad koolivalemid kui ka olukorrad, kus peate hakkama saama ilma kõrgust teadmata.
Klassikaline ja levinuim meetod: alus ja kõrgus
Kõige tuntum ja laialdasemalt kasutatav valem kolmnurga pindala leidmiseks on seotud selle aluse ja kõrgusega. See on valem, mida õpetatakse juba põhikoolis ning mis töötab iga tüüpi kolmnurga puhul, olgu see siis teravnurkne, nürinurkne või täisnurkne. Põhimõte on lihtne: kolmnurk on sisuliselt pool ristkülikust või rööpkülikust, millel on sama alus ja kõrgus.
Valem on järgmine:
Pindala = (alus × kõrgus) / 2
Selleks, et seda valemit edukalt kasutada, tuleb mõista kahte põhimõistet:
- Alus (a): See on kolmnurga külg, millele kõrgus langeb. Tavaliselt valitakse aluseks alumine külg, kuid tegelikult võib aluseks olla ükskõik milline kolmnurga kolmest küljest.
- Kõrgus (h): See on lühim vahemaa (ristlõik) kolmnurga tipust vastasküljeni (aluseni). Kõrgus peab alati moodustama alusega täisnurga (90 kraadi).
Oluline on tähele panna, et nürinurkse kolmnurga puhul võib kõrgus langeda väljapoole kolmnurka, aluse pikendusele. See on koht, kus tehakse kõige rohkem vigu. Mõõtmisel tuleb olla täpne ja veenduda, et mõõdate just nimelt risti asetsevat distantsi, mitte kaldus külge.
Täisnurkse kolmnurga eripärad
Täisnurkne kolmnurk on pindala arvutamise seisukohalt kõige tänuväärsem kujund. Kuna täisnurkse kolmnurga kaks lühemat külge (kaatetid) asuvad teineteise suhtes risti, toimib üks kaatet automaatselt alusena ja teine kõrgusena. See välistab vajaduse eraldi kõrgust mõõta või konstrueerida.
Täisnurkse kolmnurga puhul lihtsustub valem kujule:
Pindala = (kaatet 1 × kaatet 2) / 2
Näiteks, kui teil on vaja välja lõigata vineerist kolmnurk, mis sobitub toa nurka, ja selle küljed seina ääres on 3 meetrit ja 4 meetrit, siis pindala on lihtsalt (3 × 4) / 2 = 6 ruutmeetrit. Siin ei ole vaja teada pikima külje (hüpotenuusi) pikkust ega muretseda nürinurkade pärast. See on põhjus, miks ehituses ja maamõõtmises püütakse keerulised kujundid sageli jagada mitmeks täisnurkseks kolmnurgaks – see muudab arvutused tunduvalt kiiremaks ja vähendab eksimisvõimalust.
Heroni valem: kui kõrgust ei ole võimalik mõõta
Tihti tuleb ette olukordi, eriti maamõõtmisel või ebakorrapäraste detailide puhul, kus kõrguse mõõtmine on keeruline või ebatäpne, kuid kõigi kolme külje pikkused on teada. Siin tuleb appi Heroni valem. See on geniaalne meetod, mis võimaldab leida pindala ainult küljepikkuste kaudu.
Heroni valemi kasutamine käib kahes etapis:
- Esmalt tuleb leida poolperimeeter (tähistatakse tähega s). See on pool kõigi külgede summast: s = (a + b + c) / 2.
- Seejärel asetatakse saadud arv valemisse: Pindala = Ruutjuur[s × (s – a) × (s – b) × (s – c)].
Kuigi valem näeb paberil välja veidi keeruline ja sisaldab ruutjuurt, on see tänapäevaste nutitelefonide ja kalkulaatoritega lihtsasti arvutatav. Heroni valem on asendamatu näiteks aiapidajale, kes on mõõtnud ära oma kolmnurkse peenra kõik kolm külge ja soovib teada täpset pindala, et osta õige kogus mulda või väetist.
Võrdkülgne kolmnurk – erijuhtum
Võrdkülgne kolmnurk on kujund, kus kõik kolm külge on ühepikkused ja kõik nurgad on 60 kraadi. Sellise ideaalse sümmeetria tõttu on selle pindala leidmiseks olemas spetsiaalne lühivalem, mis nõuab vaid ühe külje pikkuse teadmist.
Valem on: Pindala = (a² × √3) / 4
See valem on eriti kasulik disainis ja arhitektuuris, kus kasutatakse sageli regulaarseid kujundeid. Selle asemel, et hakata arvutama kõrgust Pythagorase teoreemi abil või kasutada pikka Heroni valemit, annab see lühivalem vastuse sekunditega. Ligikaudseks arvutamiseks peast võib meelde jätta, et ruutjuur kolmest on umbes 1,73.
Arvutamine kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu
Mõnikord on mõõtmistulemustena teada vaid kaks külge, kuid tänu nurgamõõdikule või projektijoonistele teame ka nende külgede vahelist nurka. Sellisel juhul saab kasutada trigonomeetrilist valemit.
Pindala = (külg 1 × külg 2 × sin(nurk)) / 2
See meetod on väga levinud geodeesias ja tehnilises joonestamises. Oluline on siinkohal jälgida, et kalkulaator oleks seadistatud õigetele ühikutele (kraadid või radiaanid), vastavalt sellele, kuidas nurk on mõõdetud. Enamasti kasutatakse igapäevaelus kraade.
Praktilised näited elust enesest
Teooria on tore, aga vaatame, kuidas need teadmised pärisellu üle kanda. Kujutame ette, et teil on vaja värvida maja viilualune. See on kolmnurkne pind. Redeliga räästa alla ronides saate mõõta viilu laiuse (alus) ja tipu kõrguse räästast (kõrgus).
Oletame, et maja laius on 8 meetrit ja viilu tipp on 3 meetrit räästast kõrgemal. Pindala on (8 × 3) / 2 = 12 ruutmeetrit. Teades, et üks liiter värvi katab umbes 10 ruutmeetrit, saate kohe arvutada, et vajate veidi üle ühe liitri värvi. Ilma valemit teadmata ostaksite võib-olla kaks liitrit ja raiskaksite raha, või ühe liitri ja avastaksite töö käigus, et värvi jääb puudu.
Teine näide on haljastusest. Teil on nurgakrunt, mis on kolmnurkse kujuga. Mõõdulindiga on lihtne mõõta aia pikkused (küljed), kuid kõrgust on maastikul raske määrata. Mõõtes küljed 20m, 30m ja 40m, saate kasutada Heroni valemit ja tellida täpselt õige koguse muruseemet.
Levinumad vead, mida vältida
Isegi lihtsate valemite puhul on eksimisruumi. Siin on peamised karid, mida tasub vältida:
- Mõõtühikute segamini ajamine: See on kõige sagedasem viga. Kui mõõdate aluse meetrites ja kõrguse sentimeetrites, tuleb enne arvutamist teisendada need samasse ühikusse. Vastasel juhul saate täiesti vale suurusjärgu.
- Vale kõrguse kasutamine: Nagu eelnevalt mainitud, peab kõrgus olema risti alusega. Ärge ajage kõrgust segi kolmnurga küljega (v.a täisnurkse kolmnurga puhul).
- Ümardamine liiga vara: Kui kasutate Heroni valemit või trigonomeetriat, ärge ümardage vahetulemusi. Ümardage alles lõppvastus, et säilitada täpsus.
Korduma kippuvad küsimused kolmnurga pindala kohta
Siin on vastused mõningatele küsimustele, mis pindala arvutamisel tihti esile kerkivad:
Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala?
Võrdhaarse kolmnurga (kaks külge on võrdsed) puhul kehtib tavaline valem (alus × kõrgus) / 2. Kuna tipp asub täpselt aluse keskpunkti kohal, saab kõrgust vajadusel arvutada Pythagorase teoreemi abil, teades haara pikkust ja poolt aluse pikkust.
Mida teha, kui mul on teada ainult kolmnurga tippude koordinaadid?
Kui kolmnurk asub koordinaatteljestikul (näiteks katastriplaanil), kasutatakse nn “kingapaelu meetodit” või determinanti tippude koordinaatidest. See on levinud maamõõtmise tarkvarades.
Kas pindala saab olla negatiivne?
Matemaatiliselt võib teatud vektorarvutustes tulla tulemus märgiga, kuid geomeetrilise kujundi füüsiline pindala on alati positiivne arv.
Kuidas teisendada ruutsentimeetreid ruutmeetriteks?
See on koht, kus paljud eksivad. Kuna 1 meeter on 100 sentimeetrit, siis 1 ruutmeeter on 100 × 100 = 10 000 ruutsentimeetrit. Seega, kui saite vastuseks 50 000 cm², peate selle jagama 10 000-ga, et saada 5 m².
Kas on vahet, millist külge ma alusena kasutan?
Ei ole. Pindala jääb alati samaks, olenemata sellest, millist külge te aluseks peate. Küll aga muutub vastava kõrguse pikkus. Lühimale küljele langeb alati pikim kõrgus ja vastupidi.
Digitaalsed abivahendid ja tulemuste kontrollimine
Tänapäeval ei pea me lootma ainult pliiatsile ja paberile. Internetis on saadaval sadu tasuta kalkulaatoreid, mis on spetsiaalselt loodud geomeetriliste kujundite pindala arvutamiseks. Need on suurepärased tööriistad oma arvutuste kontrollimiseks.
Kui olete käsitsi arvutuse teinud, on alati mõistlik tulemus “talupojatarkusega” üle kontrollida. Vaadake saadud numbrit ja kujundit – kas see tundub loogiline? Kui arvutasite toa põrandal oleva väikese vaiba pindalaks 200 ruutmeetrit, on ilmselgelt kuskil komakoht valesti läinud. Digitaalsete tööriistade kasutamine koos baasteadmistega tagab, et teie ehitusprojektid, koolitööd või hobiprojektid õnnestuvad vigadeta. Oskus leida kolmnurga pindala on lihtne, kuid võimas tööriist teie oskustepagasis, mis muudab keerulised ülesanded hallatavaks.
