Matemaatika kodutööd võivad sageli tekitada stressi nii õpilastes kui ka lapsevanemates, eriti kui teemaks on harilikud murrud. Murdude korrutamine on aga üks neist teemadest, mis tundub esmapilgul keerulisem, kui see tegelikult on. Erinevalt liitmisest ja lahutamisest, kus peame otsima ühiseid nimetajaid ja laiendama, on korrutamine märksa sirgjoonelisem protsess. Ometi on siin mitmeid nüansse, nagu taandamine, segaarvude teisendamine ja täisarvudega arveldamine, mis vajavad selget lahtiseletamist. See juhend on loodud selleks, et teha murdude korrutamine “puust ja punaseks”, pakkudes kindlustunnet ja selgust igale õppijale.
Murdude korrutamise põhireegel
Kõige olulisem asi, mida murdude korrutamise juures meeles pidada, on see, et protsess on loogiline ja järgib kindlat mustrit. Kui liitmisel on vaja teha eeltööd nimetajatega, siis korrutamisel võime asuda kohe asja kallale. Põhireegel on lihtne: lugeja korrutatakse lugejaga ja nimetaja nimetajaga.
Matemaatiliselt väljendudes näeb see välja nii: kui sul on kaks murdu, $\frac{a}{b}$ ja $\frac{c}{d}$, siis nende korrutis on $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. See tähendab, et murrujoone peal olevad arvud korrutatakse omavahel ja murrujoone all olevad arvud samuti. Tulemuseks saadud uus murd ongi vastus, mida võib hiljem olla vaja lihtsustada ehk taandada.
Miks me ei vaja ühist nimetajat?
Paljud õpilased teevad vea, püüdes korrutamisel leida ühist nimetajat, sest see reegel on liitmisest ja lahutamisest nii tugevalt sisse harjunud. Korrutamise puhul on see aga tarbetu lisatöö. Sisuliselt tähendab murdude korrutamine “osa leidmist osast”. Näiteks kui me korrutame $\frac{1}{2}$ ja $\frac{1}{2}$, siis me küsime sisuliselt: kui suur on pool poolest? Vastus on veerand ($\frac{1}{4}$). Matemaatiliselt saame selle, kui korrutame 1 korda 1 ja 2 korda 2. Ühise nimetaja otsimine muudaks arvud asjatult suureks ja teeks arvutuse keerulisemaks.
Samm-sammuline juhend: kuidas korrutada harilikke murde
Et protsess oleks võimalikult selge, jagame selle konkreetseteks sammudeks. Järgides seda algoritmi, on eksimisvõimalus minimaalne.
- Kirjuta tehe välja. Aseta murrud kõrvuti ja pane nende vahele korrutusmärk. Veendu, et mõlemad arvud on hariliku murru kujul (vajadusel teisenda segaarvud või täisarvud, millest räägime allpool).
- Korruta lugejad. Võta esimese murru ülemine number ja korruta see teise murru ülemise numbriga. Kirjuta saadud vastus uue murrujoone peale.
- Korruta nimetajad. Võta esimese murru alumine number ja korruta see teise murru alumise numbriga. Kirjuta saadud vastus uue murrujoone alla.
- Taanda tulemus. Vaata saadud murdu kriitilise pilguga. Kas lugejat ja nimetajat saab jagada ühe ja sama numbriga? Kui jah, siis tee seda, et saada vastus lihtsaimal kujul.
Taandamine: kas enne või pärast korrutamist?
Üks kasulikumaid oskusi murdude korrutamisel on taandamine. Kuigi eelmises punktis mainisime taandamist viimase sammuna, on tegelikult sageli nutikam taandada enne korrutamist. Seda nimetatakse sageli ka risti taandamiseks.
Risti taandamine tähendab seda, et enne korrutamistehte sooritamist vaatad sa ühe murru lugejat ja teise murru nimetajat. Kui neil on ühine jagaja, võid sa mõlemat arvu sellega jagada. See hoiab numbrid väiksena ja teeb peastarvutamise palju lihtsamaks. Suurte numbrite korrutamine suurendab vigade riski, seega on eelnev lihtsustamine alati soovitatav.
- Näide: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$
- Ilma taandamata: $4 \cdot 3 = 12$ ja $9 \cdot 8 = 72$. Tulemus on $\frac{12}{72}$. Nüüd pead leidma, millega need jaguvad (mõlemad jaguvad 12-ga, vastus on $\frac{1}{6}$).
- Risti taandades: Märkad, et 4 ja 8 jaguvad 4-ga (järele jäävad 1 ja 2). Märkad, et 3 ja 9 jaguvad 3-ga (järele jäävad 1 ja 3). Uus tehe on $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$, mis annab kohe vastuseks $\frac{1}{6}$.
Segaarvude korrutamine: varjatud karid
Segaarvud (arvud, mis koosnevad täisarvust ja murrust, näiteks $2 \frac{1}{3}$) on koht, kus õpilased kõige sagedamini komistavad. Levinud viga on korrutada täisarvud omavahel ja murrud omavahel. See on vale. Segaarvudega tegelemiseks on vaid üks kindel viis: need tuleb teisendada liigmurdudeks.
Kuidas teisendada segaarv liigmurruks?
Liigmurd on murd, mille lugeja on suurem kui nimetaja. Teisendamiseks toimi järgmiselt:
- Korruta täisarv murru nimetajaga.
- Lisa saadud tulemusele murru lugeja.
- Saadud summa on uue murru lugeja, nimetaja jääb samaks.
Näiteks $2 \frac{1}{3}$ puhul: $2 \cdot 3 = 6$, pluss $1 = 7$. Tulemuseks on $\frac{7}{3}$. Alles siis, kui kõik segaarvud on muudetud liigmurdudeks, võid asuda tavapärase lugeja-lugejaga ja nimetaja-nimetajaga korrutamise juurde.
Täisarvude korrutamine murruga
Mõnikord tuleb ette olukordi, kus on vaja korrutada harilik murd täisarvuga, näiteks $5 \cdot \frac{2}{7}$. See võib tekitada segadust, sest täisarvul justkui puuduks nimetaja. Tegelikkuses on igal täisarvul nimetaja, ja see on alati 1.
Seega, kui näed arvu 5, mõtle sellest kui murrust $\frac{5}{1}$. Nüüd on tehe lihtne: $\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{7}$. Korrutad lugejad ($5 \cdot 2 = 10$) ja nimetajad ($1 \cdot 7 = 7$). Vastus on $\frac{10}{7}$, mille saab soovi korral tagasi segaarvuks teisendada ($1 \frac{3}{7}$).
Levinumad vead ja kuidas neid vältida
Isegi kui reeglid on selged, tekib kiirustades vigu. Siin on loetelu kõige tüüpilisematest eksimustest murdude korrutamisel, mida tasub teadvustada:
- Ühise nimetaja otsimine: Nagu varem mainitud, on see ajakulu ja potentsiaalne veaallikas. Korrutamisel unusta laiendamine.
- Segaarvude vale korrutamine: Ärge kunagi korrutage täisosi ja murdosi eraldi. Alati teisendage esmalt liigmurruks.
- Taandamise unustamine: Kuigi matemaatiliselt võib $\frac{50}{100}$ olla õige vastus, oodatakse koolis ja eksamitel tavaliselt vastust lihtsaimal kujul ehk $\frac{1}{2}$. Harjuta end alati lõppvastust kontrollima.
- Teise murru pööramine: See on reegel murdude jagamisel, mitte korrutamisel. Korrutamisel jäävad mõlemad murrud oma algasendisse.
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Murdude teema tekitab palju küsimusi. Siin on vastused neile, mida õpilased ja vanemad kõige sagedamini küsivad.
Kas ma võin korrutada korraga kolme või enamat murdu?
Jah, absoluutselt. Reegel jääb samaks: korruta kõik lugejad omavahel, et saada uus lugeja, ja kõik nimetajad omavahel, et saada uus nimetaja. Näiteks $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ puhul on lugeja $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ ja nimetaja $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Vastus on $\frac{1}{24}$. Ka siin on väga kasulik kasutada eelnevat risti taandamist suvalise lugeja ja suvalise nimetaja vahel.
Mis saab siis, kui vastus on liigmurd?
Koolitöödes on tavaks, et kui vastuseks tuleb liigmurd (lugeja on suurem kui nimetaja), teisendatakse see lõpuks segaarvuks. Näiteks kui vastus on $\frac{5}{2}$, on korrektne lõppvastus $2 \frac{1}{2}$. Siiski sõltub see konkreetse ülesande nõudmistest; mõnikord on liigmurd edasisteks arvutusteks kasulikum.
Miks murdude korrutamine annab vahel väiksema arvu kui algarvud?
Me oleme harjunud, et täisarve korrutades (nt $2 \cdot 3$) läheb vastus suuremaks. Murdude puhul, eriti kui korrutame kahte lihtmurdu (arvud on väiksemad kui 1), läheb vastus väiksemaks. See on loogiline, sest me võtame “osa osast”. Pool poolest on veerand, mis on väiksem kui pool.
Kuidas kontrollida, kas mu vastus on õige?
Kiireim viis on hinnata suurusjärku. Kui korrutad arvu, mis on veidi suurem kui 1, arvuga, mis on veidi väiksem kui 1, peaks vastus olema 1 lähedal. Täpsemaks kontrolliks võib teha pöördtehte (jagamise), kuid lihtsam on sammud rahulikult uuesti läbi käia, pöörates erilist tähelepanu korrutustabelile.
Praktilised soovitused õpitu kinnistamiseks
Murdude korrutamise valdamine ei tule üleöö, vaid vajab järjepidevat harjutamist. Et muuta see protsess sujuvamaks ja vähem koormavaks, tasub integreerida matemaatikat igapäevaellu. Üks parimaid viise selleks on toiduvalmistamine. Retseptid nõuavad sageli koguste muutmist. Kui retsept on mõeldud neljale, aga soovite süüa teha kahele, tuleb kõiki koguseid korrutada $\frac{1}{2}$-ga. Kui on vaja teha topeltkogus, korrutate kahega (ehk $\frac{2}{1}$-ga). Selline praktiline lähenemine aitab lapsel mõista, et murrud ei ole vaid abstraktsed numbrid paberil, vaid reaalne tööriist maailma mõtestamiseks.
Lisaks tasub kasutada visuaalseid abivahendeid. Pitsa või koogi sektoriteks jagamine on klassikaline näide, kuid ka paberilehtede voltimine või ristkülikute joonistamine aitab luua visuaalse seose. Kui joonistada paberile ruut ja värvida pool sellest siniseks ning seejärel viirutada pool sinisest alast punaseks, tekib visuaalne arusaam sellest, miks $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Mida rohkem meeli on õppeprotsessi kaasatud, seda sügavamalt teadmised kinnistuvad.
