Matemaatika maailmas on harilikud murrud üks neist teemadest, mis võivad alguses tunduda keerukad, kuid omandatuna muutuvad need igapäevaseks ja loogiliseks tööriistaks. Kui liitmise ja lahutamise puhul on vaja leida ühine nimetaja, siis korrutamine pakub hoopis teistsugust, palju lihtsamat ja elegantsemat lähenemist. Harilike murdude korrutamine on üks kõige olulisemaid oskusi, mida koolimatemaatikas õpitakse, sest see paneb aluse keerulisematele tehetele algebras ja füüsikas. Selles artiklis käsitleme põhjalikult, kuidas murdude korrutamine täpselt toimub, milliseid nippe tasub teada ning kuidas vältida kõige sagedasemaid vigu, et saaksid selles teemas täieliku kindluse.
Mida tähendab harilike murdude korrutamine?
Harilike murdude korrutamine erineb oluliselt liitmisest. Kui liitmisel pead muretsema nimetajate ühtlustamise pärast, siis korrutamisel seda tegema ei pea. Korrutamine tähendab sisuliselt murru “osa võtmist” teisest arvust. Matemaatiliselt öeldes on kahe murru korrutis uus murd, mille lugeja on tegurite lugejate korrutis ja nimetaja on tegurite nimetajate korrutis. See tähendab, et teeme kaks eraldiseisvat korrutustehet: ühe üleval ja teise all.
Kujuta ette, et sul on pool pitsat ja sa tahad sellest võtta kolmandiku. Matemaatiliselt on see 1/2 korrutatuna 1/3-ga. Tulemuseks on 1/6. See visuaalne näide aitab mõista, et korrutamine teeb murru väärtuse tihti väiksemaks, kui tegemist on ühelt väiksemate arvudega. Protsessi lihtsus peitubki selles, et reeglid on universaalsed ja ei muutu sõltuvalt sellest, kui suured on arvud lugejas või nimetajas.
Samm-sammuline juhend: kuidas korrutada
Murru korrutamine koosneb kolmest lihtsast sammust, mida järgides saavutad alati õige tulemuse. Need sammud on järgmised:
- Korruta omavahel lugejad: see annab sulle uue murru lugeja.
- Korruta omavahel nimetajad: see annab sulle uue murru nimetaja.
- Lihtsusta tulemus: kui võimalik, taanda murd kõige väiksemate arvudeni.
Oletame, et peame korrutama 2/5 ja 3/4. Esimene samm on lugejate korrutamine: 2 korda 3 on 6. Teine samm on nimetajate korrutamine: 5 korda 4 on 20. Saame murru 6/20. Kolmas samm on taandamine. Kuna nii 6 kui ka 20 jaguvad arvuga 2, saame tulemuseks 3/10.
Täisarvu korrutamine murruga
Sageli tekib küsimus, mida teha siis, kui peame korrutama täisarvu ja murdu, näiteks 5 korda 2/3. See on tegelikult lihtsam, kui esmapilgul tundub. Iga täisarvu saab kirjutada murruna, mille nimetaja on 1. Seega 5 muutub kujule 5/1. Nüüd on tehe 5/1 korda 2/3. Korrutame lugejad: 5 korda 2 on 10. Korrutame nimetajad: 1 korda 3 on 3. Tulemus on 10/3, mis on ebakohane murd. Selle saab teisendada segaarvuks: 3 tervet ja 1/3.
Taandamine enne korrutamist – salajane nipp
Paljud õpilased teevad vea, korrutades läbi suured arvud ja alles siis proovides tulemust taandada. See on ohtlik, sest suurte arvudega (näiteks 12/25 korda 15/16) on lihtne vigu teha. Nutikam viis on taandada riste juba enne korrutamist. Vaatame näidet 12/25 korda 15/16.
Võime jagada 12 ja 16 mõlemad 4-ga. 12 muutub 3-ks ja 16 muutub 4-ks. Seejärel võime jagada 15 ja 25 mõlemad 5-ga. 15 muutub 3-ks ja 25 muutub 5-ks. Nüüd korrutame uued arvud: 3/5 korda 3/4. Tulemuseks on 9/20. See on palju lihtsam kui 180/400 taandamine, kas pole?
Miks taandamine on kasulik?
- Vähendab arvutusvigu, kuna tegeled väiksemate numbritega.
- Säästab aega eksamitel ja kontrolltöödes.
- Aitab paremini mõista arvude vahelisi seoseid ja jaguvust.
- Muudab lõpptulemuse leidmise koheseks, ilma et peaksid hiljem uuesti jagamist tegema.
Segarvude korrutamine
Kui satud kokku segarvudega, nagu näiteks 2 1/3 korda 1 1/2, on kõige olulisem reegel: enne korrutamist teisenda need alati ebakohasteks murrudeks. Vastasel juhul ei saa sa lugejaid ja nimetajaid omavahel korrutada.
Teisendamine käib nii: korruta täisosa nimetajaga ja liida lugeja. 2 1/3 puhul: 2 korda 3 on 6, pluss 1 on 7. Murd on seega 7/3. Teise arvu 1 1/2 puhul: 1 korda 2 on 2, pluss 1 on 3. Murd on 3/2. Nüüd teeme tehte 7/3 korda 3/2. Siin märkame kohe, et kolmed taanduvad, jääb järele 7/2, mis on 3 1/2.
Levinud vead ja kuidas neid vältida
Kõige sagedasem viga on murdude korrutamisel segamini ajamine nende liitmisega. Inimesed kipuvad ikka veel otsima ühist nimetajat ka korrutamisel. Pea meeles: korrutamisel pole ühist nimetajat vaja! Teine levinud viga on täisarvu korrutamine ainult lugejaga või ainult nimetajaga, selle asemel et mõelda täisarvust kui murrust nimetajaga 1.
Kolmas viga on unustamine taandada tulemus lihtsaimale kujule. Isegi kui oled korrutamise õigesti teinud, ei loeta murru vastust tihti lõplikult õigeks, kui seda pole taandatud. Kontrolli alati, kas lugeja ja nimetaja jaguvad veel mõne sama arvuga.
Miks on see teadmine eluliselt tähtis?
Harilike murdude korrutamine pole lihtsalt koolitükk. See on vajalik igasugustes praktilistes olukordades. Kui valmistad toitu ja retsept nõuab kolmveerand kogusest, pead oskama arvutada. Kui planeerid remonti ja pead välja selgitama, kui palju materjali kulub osa mingist pinnast, on murdude korrutamine hädavajalik. Ehituses, kangaste mõõtmisel ja isegi rahanduses on murrud aluseks täpsetele arvutustele. Mida kindlamalt tunned end nende tehete juures, seda vähem pead lootma kalkulaatorile ja seda kiiremini jõuad igapäevastes tegemistes õigete lahendusteni.
Korduma kippuvad küsimused
Kas harilike murdude korrutamisel peab alati nimetajad ühtlustama?
Ei, mitte kunagi. Ühise nimetaja otsimine on vajalik ainult murdude liitmisel ja lahutamisel. Korrutamisel korrutad lugejad lugejatega ja nimetajad nimetajatega, sõltumata sellest, kas need on ühesugused või mitte.
Mis juhtub, kui ma ei taanda murdu lõpus?
Matemaatiliselt võib tulemus olla õige, kuid õpetajad ja eksamihindajad peavad seda tavaliselt poolikuks tööks. Matemaatikas peetakse reegliks, et vastus esitatakse võimalikult lihtsas vormis. Taandamata murd on sama, mis öelda 4/8 asemel 1/2 – mõlemad on küll õiged väärtused, aga teine on standardkuju.
Kuidas ma tean, kas murdu saab veel taandada?
Kontrolli, kas lugeja ja nimetaja on mõlemad paarisarvud (siis saab jagada 2-ga), kas nad lõpevad 0 või 5-ga (siis saab jagada 5-ga), või proovi teisi algarve nagu 3, 7 või 11. Kui lugeja ja nimetaja suurim ühine jagaja on 1, siis on murd taandatud kõige väiksemate arvudeni.
Kas negatiivsete murdude korrutamine käib samamoodi?
Jah, täpselt samamoodi. Kehtivad kõik tavalised märgi reeglid: miinus korda pluss on miinus ja miinus korda miinus on pluss. Kui korrutad kahte negatiivset murdu, on tulemus positiivne.
Mis on kõige kiirem viis segatud murdude korrutamiseks?
Kõige kiirem ja kindlam viis on alati teisendada segarvud ebakohasteks murdudeks enne mis tahes tehete tegemist. See välistab segaduse täisosade ja murdosa korrutamisel, mis on levinud komistuskivi.
Kuidas omandada murdude korrutamine püsivalt
Kõige parem viis matemaatikat õppida on läbi praktika. Lahenda erinevaid näiteid: korruta kahte lihtsat murdu, seejärel täisarvu murruga ja lõpuks segarve. Kui tunned, et oled põhitõed omandanud, proovi keerulisemaid ülesandeid, kus tuleb kasutada risti taandamist. Pea meeles, et matemaatika on nagu keel – mida rohkem sa seda praktiseerid, seda ladusamalt see sul tuleb. Ära karda vigu, sest iga viga, mille teed, on võimalus õppida, miks ja kus sa eksisid. Kui oled murdude korrutamise selgeks saanud, märkad peagi, et ka jagamine muutub palju lihtsamaks, sest ka jagamine taandub tegelikult korrutamisele, pöörates jagaja murru lihtsalt ümber. See on loogiline ja rahuldustpakkuv ahel, mis muudab matemaatika palju vähem hirmutavaks.
