Matemaatika võib vahel tunduda keerulise ja abstraktse maailmana, kus erinevad märgid ja numbrid näivad üksteisest täiesti sõltumatutena. Üks kõige sagedamini ette tulevaid ülesandeid koolis on seotud arvude teisendamisega ühest kujust teise. Harilik murd ja kümnendmurd on justkui kaks erinevat keelt, mida kasutatakse sama asja – osa tervikust – väljendamiseks. Oskus teisendada harilikku murdu kümnendmurruks ei ole mitte ainult vajalik oskus kontrolltööde sooritamiseks, vaid see on ka praktiline tööriist igapäevaelus, olgu selleks siis poes allahindluse arvutamine, retseptide järgi toidu valmistamine või ehitusmaterjalide mõõtmine.
Mis on harilik murd ja mis on kümnendmurd?
Enne teisendamise juurde asumist on oluline mõista, millega me tegelikult tegeleme. Harilik murd koosneb lugejast (ülemine arv) ja nimetajast (alumine arv), mida eraldab murrujoon. See näitab, mitu võrdset osa meil on ja kui suureks tervik on jaotatud. Näiteks murd 3/4 tähendab, et oleme jaganud terviku neljaks võrdseks osaks ja võtnud neist kolm.
Kümnendmurd on aga arvude süsteem, mis põhineb kümnel. Siin kasutame koma, et eraldada täisosa murdosast. Kümnendmurrus on kohad komast paremal tähistatud kümnendikega (1/10), sajandikega (1/100), tuhandikega (1/1000) ja nii edasi. Seega, kui kirjutame 0,75, tähendab see tegelikult 75 sajandikku ehk 75/100. Kui me lihtsustame selle murru jagades nii lugejat kui ka nimetajat 25-ga, saamegi tulemuseks 3/4. Need kaks on väärtuselt identsed, kuid esitatud erinevas vormis.
Jagamine kui peamine meetod
Kõige universaalsem ja kindlam viis hariliku murru teisendamiseks kümnendmurruks on teostada jagamistehe. Murrujoon ise on matemaatikas tegelikult jagamismärk. Seega, kui näed murdu 5/8, võid seda lugeda kui “viis jagatud kaheksaga”.
Selleks, et seda arvutustehtena teostada, tuleb lugeja jagada nimetajaga. See toimub tavalise kirjaliku jagamise teel. Kuna lugeja on tihtipeale väiksem kui nimetaja, tähendab see, et tulemuseks on arv, mis on väiksem kui üks, ehk 0 koma midagi.
Võtame näiteks murru 3/4. Jagame 3 arvuga 4:
1. 3 jagatud 4-ga on 0, sest 4 ei mahu 3 sisse. Kirjutame tulemuseks 0 ja paneme koma.
2. Lisame 3 järele nulli, saades 30. 30 jagatud 4-ga on 7 (sest 7 korda 4 on 28).
3. 30 miinus 28 on 2. Lisame veel ühe nulli, saades 20.
4. 20 jagatud 4-ga on 5.
5. Tulemus on 0,75.
Seda meetodit saab kasutada kõigi murdude puhul, ka nende puhul, mis on keerulisemad.
Nimetaja laiendamine 10, 100 või 1000-ni
Teine väga mugav ja kiire meetod, mida saab kasutada siis, kui murru nimetaja on selline arv, mida saab kergesti korrutada 10, 100 või 1000 saamiseks, on laiendamine. Laiendamine tähendab, et korrutame nii murru lugejat kui ka nimetajat ühe ja sama nullist erineva arvuga.
Näiteks kui meil on murd 2/5, saame nimetaja 5 kergesti muuta 10-ks, korrutades seda 2-ga. Peame meeles pidama, et korrutada tuleb ka lugejat, et murru väärtus ei muutuks.
2 korda 2 on 4 ja 5 korda 2 on 10. Saame murru 4/10. Kuna kümnendmurru reeglite järgi 4 kümnendikku kirjutatakse 0,4, siis ongi teisendus tehtud.
Sama loogika kehtib ka suuremate arvude puhul:
– Murd 3/20: korrutame nii lugejat kui nimetajat 5-ga, saame 15/100, mis on 0,15.
– Murd 7/25: korrutame nii lugejat kui nimetajat 4-ga, saame 28/100, mis on 0,28.
See meetod on tihti palju kiirem kui jagamine, sest see ei nõua pika jagamise tegemist, vaid põhineb peastarvutamisel. Siiski töötab see ainult siis, kui nimetaja on arvu 10, 100, 1000 jagaja. Kui nimetaja on näiteks 7 või 11, on jagamine ainus võimalus.
Lõplikud ja lõpmatud kümnendmurrud
Kui teostad jagamist, märkad peagi, et mõned murrud teisenduvad väga lihtsalt ja jagamine lõpeb nulliga. Neid nimetatakse lõplikeks kümnendmurdudeks. See juhtub siis, kui nimetaja algtegurid on vaid 2 ja 5. Näiteks 1/2, 1/4, 1/5, 1/8 ja 1/10 annavad kõik lõpliku tulemuse.
Teisalt on olemas ka lõpmatud kümnendmurrud. Kui jagad näiteks 1 kolmega, saad 0,333333… ja see 3 ei lõppe kunagi. Seda nimetatakse perioodiliseks kümnendmurruks. Matemaatiliselt märgitakse seda sageli nii, et korduvat numbrit tähistatakse sulgudega, näiteks 0,(3). See on oluline nüanss, mida meeles pidada, eriti kui õpetaja palub tulemuse ümardada. Tavaliselt palutakse sellisel juhul ümardada kümnendikeni või sajandikeni, mis tähendab, et pead vaatama esimest numbrit pärast soovitud kohta ja vajadusel arvu suurendama.
Sagedasemad vead, mida vältida
Õpilased teevad hariliku murru teisendamisel sageli sarnaseid vigu. Üks levinumaid eksimusi on jagamise järjekorra sassi ajamine. Mäleta alati: lugeja jagatakse nimetajaga. Kunagi ei tohi jagada nimetajat lugejaga, välja arvatud juhul, kui tegemist on liigmurruga ja soovid leida, mitu tervet selles peitub.
Teine viga on nullide unustamine koma panemisel. Kui jagad näiteks 1 arvuga 8, siis 1 jagatud 8-ga on 0,125. Paljud õpilased teevad vea ja saavad tulemuseks 1,25 või 0,0125. Selle vältimiseks tee alati kiire hinnang: kui murd on väiksem kui 1, peab ka kümnendmurd olema väiksem kui 1. Kui murd on aga suurem kui 1, näiteks 5/4, siis tead, et tulemus on 1,25.
Samuti tasub tähelepanu pöörata laiendamisel sellele, et korrutad tõesti mõlemat osa. Kui korrutad ainult nimetajat, muutub murru väärtus ja vastus on vale. Kontrolli alati oma tööd: kas 4/10 on tõesti sama mis 2/5? Jah, sest 0,4 on 40 protsenti ja 2/5 viiest osast on samuti 40 protsenti.
Praktilised näpunäited õppimiseks
Parim viis matemaatiliste oskuste kinnistamiseks on harjutamine. Proovi endale koostada tabel, kuhu paned kirja kõige levinumad murrud, nagu 1/2, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/8, 3/8, 5/8 ja 7/8. Kui õpid need peast, muutub edaspidine õppimine ja kontrolltööde kirjutamine märgatavalt kiiremaks.
Samuti võid kasutada visuaalseid abivahendeid. Joonista ringe või ristkülikuid ja jaga need osadeks. Värvi osa nendest ja proovi kirja panna nii murd kui ka kümnendmurd. See aitab aju ühendada abstraktse numbri ja reaalse suuruse, mis omakorda kinnistab teadmisi pikaajaliselt.
Kui oled segaduses, kas teisendus on õige, võid alati teha vastupidise tehte. Kui said 3/4 teisenduseks 0,75, siis mõtle, kas 0,75 on 75/100. Kui jah, siis lihtsusta 75/100 ja vaata, kas saad 3/4. See on suurepärane kontrollimise meetod, mis hoiab ära rumalaid vigu.
Korduma kippuvad küsimused
Kas iga hariliku murru saab teisendada lõplikuks kümnendmurruks?
Ei, ei saa. Nagu varem mainitud, saab lõpliku kümnendmurru vaid siis, kui murru nimetaja algtegurid on ainult 2 ja 5. Kui nimetajas on näiteks 3, 7, 11 või 13, on tulemuseks alati perioodiline kümnendmurd.
Mida teha, kui teisendamisel tuleb väga pikk arv?
Kui jagamistehe ei lõpe nulliga, küsi alati õpetajalt, kui täpselt peab vastuse ümardama. Tavaliselt piisab kahest või kolmest kohast pärast koma, kui pole öeldud teisiti.
Kas negatiivsete murdude puhul on reeglid samad?
Jah, reeglid on täpselt samad. Kui murd on negatiivne, tuleb lihtsalt tulemusele ette panna miinusmärk. Näiteks -3/4 on -0,75.
Kuidas teisendada segaarvu kümnendmurruks?
Segaarv koosneb täisosast ja murdosast. Teisenda ainult murdosa kümnendmurruks ja liida see täisosale juurde. Näiteks 2 1/4 puhul on 1/4 võrdne 0,25-ga, seega kogu arv on 2,25.
Miks on mõnikord kergem kasutada harilikku murdu kui kümnendmurdu?
Mõne arvutuse puhul, näiteks kui korrutad või jagad suuremate arvudega, on harilikud murrud täpsemad, sest nad ei vaja ümardamist. Eriti oluline on see teaduses ja inseneritöös, kus ka väike viga ümardamisel võib põhjustada suure probleemi.
Kas kalkulaatori kasutamine on lubatud?
See sõltub täielikult sinu õpetajast või eksami reeglitest. Siiski on väga soovitatav osata neid teisendusi teha ka käsitsi, sest see arendab loogilist mõtlemist ja arvutamiskiirust, mis on kasulikud igas eluvaldkonnas.
Matemaatilise enesekindluse kasvatamine
Iga uus teema matemaatikas võib tunduda hirmutav, kuid kui oled kord mõistnud aluspõhimõtteid, muutuvad need ülesanded lihtsateks rutiinseteks tegevusteks. Hariliku murru teisendamine kümnendmurruks on üks neist oskustest, mis jääb sinuga kogu eluks. Sa märkad peagi, et hakkad igapäevaelus automaatselt mõtlema arvudele erinevates vormides.
Järgmine kord, kui näed poes silti “kolmandik alla hinnatud”, tead kohe, et see on ligikaudu 0,33 ehk 33 protsenti. See annab sulle suurema kontrolli oma rahaasjade ja otsuste üle. Ära karda eksida või küsida, sest iga lahendatud ülesanne on samm edasi matemaatilise kirjaoskuse poole. Matemaatika ei ole ainult reeglite järgimine, vaid maailma mõistmine numbrite kaudu, ja mida rohkem sa seda treenid, seda lihtsamaks kõik muutub. Pea meeles, et ka kõige keerulisemad matemaatikud on kunagi alustanud täpselt samadest lihtsatest murdudest nagu 1/2 või 1/4. Oluline on kannatlikkus ja soov mõista seoseid numbrite taga, mitte ainult tuimalt reegleid pähe õppida.
