Kolmnurk on kahtlemata üks geomeetria alustalasid, millega puutume kokku nii algkooli matemaatikatundides, ehitusplatsidel kui ka igapäevases disainis. Ometi tekib tihti olukord, kus lihtne koolitarkus “alus korda kõrgus jagatud kahega” ei ole piisav, sest meil lihtsalt puuduvad vajalikud algandmed. Võib-olla on teada ainult külgede pikkused või hoopis nendevaheline nurk. Matemaatika ilu seisnebki selles, et ühe ja sama tulemuseni – antud juhul kolmnurga pindalani – on võimalik jõuda mitut erinevat teed pidi. Selles juhendis võtamegi need meetodid üksipulgi lahti, et leiaksid just sinu ülesande või projekti jaoks sobivaima lahenduse.
Klassikaline valem: alus ja kõrgus
See on meetod, mida enamik meist mäletab unepealt. See on universaalne ja töötab iga kolmnurga puhul, eeldusel, et meil on võimalik määrata kolmnurga alus ja sellele langev kõrgus. See valem on aluseks paljudele keerukamatele tuletustele geomeetrias.
Valem on lihtne: Pindala (S) võrdub aluse (a) ja kõrguse (h) korrutisega, mis on jagatud kahega.
S = (a · h) / 2
Oluline on siinkohal mõista, mis on kõrgus. Kõrgus ei ole lihtsalt suvaline joon, vaid lõik, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastasküljeni (või selle pikenduseni) ja on sellega risti. Just see täisnurk on kriitilise tähtsusega – kui kõrgus ei ole alusega risti, on tegemist lihtsalt ühe sirgiga ja valem ei kehti.
Kuidas seda praktikas kasutada?
- Mõõda ära üks kolmnurga külg, mida nimetame aluseks.
- Mõõda vahemaa vastastipust selle aluseni täisnurga all.
- Korruta saadud numbrid ja jaga tulemus kahega.
Heroni valem: kui teada on vaid küljed
Elus tuleb tihti ette olukordi, kus kõrguse mõõtmine on keeruline või võimatu. Näiteks maamõõtmisel või ehituses, kus meil on teada krundi kolmnurksed piirid, kuid keegi pole märkinud maha ristisuunalist kõrgust. Siin tuleb appi antiikaja matemaatik Heron, kelle valem võimaldab pindala arvutada, teades vaid kolme külje pikkust (a, b ja c).
See meetod koosneb kahest sammust. Esmalt tuleb leida poolperimeeter (tähistatakse tähega p).
Samm 1: Arvuta poolperimeeter
p = (a + b + c) / 2
Samm 2: Arvuta pindala
S = √[p · (p – a) · (p – b) · (p – c)]
Kuigi valem näeb esmapilgul hirmutav välja oma ruutjuure ja sulgudega, on see tegelikult äärmiselt võimas tööriist. See välistab vajaduse joonestada või arvutada eraldi kõrgust, säästes aega ja vähendades mõõtmisvigu.
Pindala leidmine kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu
Trigonomeetria toob geomeetriasse uue dimensiooni. Kui sul on teada kaks külge ja nurk, mis jääb täpselt nende kahe külje vahele, saad kasutada siinusvalemit. See on eriti levinud inseneriteadustes ja füüsikas.
Valem näeb välja järgmine:
S = (a · b · sin(γ)) / 2
Siin tähistavad a ja b külgede pikkusi ning γ (gamma) on nurk nende vahel. Miks see töötab? Sisuliselt asendab b · sin(γ) klassikalises valemis kõrgust. See on suurepärane näide sellest, kuidas erinevad matemaatika harud omavahel põimuvad.
Seda meetodit kasutatakse tihti siis, kui ligipääs kolmnurga kõikidele külgedele on piiratud, kuid on võimalik mõõta nurgamõõturiga (teodoliidiga) nurk ja laserkaugusmõõtjaga kaks külge.
Täisnurkne kolmnurk – erijuhtum
Täisnurkne kolmnurk on geomeetrias justkui kingitus, sest tema pindala arvutamine on eriti lihtne. Täisnurkses kolmnurgas on kaks lühemat külge (kaatetid) teineteise suhtes juba risti. See tähendab, et üks kaatet on automaatselt alus ja teine on kõrgus.
Seega lihtsustub valem kujule:
S = (a · b) / 2
Kus a ja b on kaatetite pikkused. Hüpotenuusi (kõige pikemat külge) pole pindala arvutamiseks sel juhul üldse vaja teada, kuigi selle kaudu on võimalik pindala leida, kui on teada kõrgus hüpotenuusile.
Võrdkülgne kolmnurk: kiirtee vastuseni
Võrdkülgne kolmnurk on sümmeetria musternäidis – kõik küljed on ühepikkused ja kõik nurgad on 60 kraadi. Tänu sellele regulaarsusele saame tuletada spetsiaalse valemi, kus on vaja teada vaid ühe külje pikkust (a).
S = (a² · √3) / 4
See valem on tuletatud Pythagorase teoreemi abil, leides esmalt kõrguse. Kui tegeled disaini või arhitektuuriga, kus kasutatakse palju regulaarseid kujundeid, tasub see valem pähe õppida, sest see on tunduvalt kiirem kui Heroni valemi kasutamine (kuigi ka Heroni valem annaks sama vastuse).
Siseringjoone ja ümberringjoone raadiuse kaudu
Edasijõudnutele ja võistlusmatemaatikas tuleb tihti ette olukordi, kus pindala tuleb siduda kolmnurga sees või selle ümber asuva ringiga.
Siseringjoone raadius (r)
Kui teame kolmnurga poolperimeetrit (p) ja siseringjoone raadiust (r), kehtib äärmiselt elegantne seos:
S = p · r
See valem näitab, et kolmnurga pindala on võrdne poolperimeetri ja siseringjoone raadiuse korrutisega. Seda on lihtne meelde jätta ja see on kasulik ülesannetes, mis seovad omavahel erinevaid geomeetrilisi kujundeid.
Ümberringjoone raadius (R)
Kui teame kõiki kolme külge (a, b, c) ja ümberringjoone raadiust (R), saame kasutada valemit:
S = (a · b · c) / (4 · R)
See seos on haruldasem, kuid asendamatu teatud tüüpi inseneriülesannetes, kus konstruktsioonid on paigutatud ringjoone sisse.
Pindala arvutamine koordinaatide abil
Kaasaegses digimaailmas, graafilises disainis ja programmeerimises ei anta meile tihti küljepikkusi sentimeetrites, vaid tippude koordinaate tasapinnal (x, y). Siin tuleb appi analüütiline geomeetria.
Kui kolmnurga tipud on punktides A(x1, y1), B(x2, y2) ja C(x3, y3), saab pindala arvutada järgmise valemiga (tuntud ka kui “kingapaelu meetod” või determinandi meetod):
S = 0.5 · |x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)|
Püstkriipsud tähistavad absoluutväärtust, mis tagab, et pindala on alati positiivne number, olenemata sellest, mispidi punkte lugeda. See valem on aluseks sellele, kuidas arvutiprogrammid ja GPS-seadmed arvutavad pindalasid kaartidel.
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Järgnevalt vastame mõningatele levinud küsimustele, mis kolmnurga pindala arvutamisel võivad tekkida.
Kas Heroni valem on täpne või ligikaudne?
Heroni valem on matemaatiliselt täpne. Küll aga võib praktikas tekkida ebatäpsusi, kui ümardate ruutjuurt liiga vara. Täpse tulemuse saamiseks tuleks arvutused teha võimalikult paljude komakohtadega ja ümardada alles lõppvastus.
Mida teha, kui tean ainult kolme nurka, aga mitte ühtegi külge?
Kahjuks ei ole võimalik ainult nurkade põhjal kolmnurga pindala arvutada. Kolm nurka määravad ära kolmnurga kuju ja proportsioonid (sarnasuse), kuid mitte selle tegelikku suurust. Sul on vaja teada vähemalt ühe külje pikkust, et määrata mastaap.
Kuidas leida nürinurkse kolmnurga kõrgust?
Nürinurkse kolmnurga puhul asub ühe või kahe külje kõrgus väljaspool kolmnurka ennast. Sellisel juhul tuleb pikendada alusjoont ja tõmmata kõrgus vastastipust sellele pikendusele. Arvutamisel kasutatakse ikka sama valemit (S = a · h / 2), kusjuures “a” on endiselt vaid kolmnurga enda külje pikkus, mitte pikendatud osa.
Millist valemit peaksin kasutama, kui mul on valida mitme vahel?
Vali alati see, mis nõuab kõige vähem vahepealseid arvutusi. Kui alus ja kõrgus on antud, kasuta klassikalist valemit. Kui on antud kolm külge, kasuta Heronit. Mida vähem pead ise andmeid tuletama või mõõtma, seda väiksem on eksimisvõimalus.
Levinumad vead pindala arvutamisel
Isegi kui valemid on selged, tuleb ette vigu, mis võivad tulemuse täielikult rikkuda. Üks sagedasemaid eksimusi on mõõtühikute segamini ajamine. Enne arvutamist veendu alati, et kõik pikkused on samades ühikutes – näiteks kõik on sentimeetrites või kõik meetrites. Kui arvutad aluse meetrites ja kõrguse sentimeetrites, on vastus täiesti vale.
Teine levinud komistuskivi on Heroni valemi kasutamisel poolperimeetri (p) segiajamine täisperimeetriga. Valemis tuleb kasutada kindlasti poolt külgede summast. Samuti unustatakse tihti trigonomeetrilise valemi puhul kalkulaatori seadistused – veendu, et sinu kalkulaator on seatud kraadide (DEG), mitte radiaanide (RAD) peale, kui sisestad nurga kraadides.
Kolmandaks, klassikalise valemi puhul eksitakse tihti sellega, millist kõrgust kasutada. Kõrgus peab alati langema sellele alusele, mida valemis kasutad. Sa ei saa korrutada külge “a” kõrgusega, mis langeb küljele “b”. See on põhimõtteline viga, mis muudab vastuse kehtetuks. Tähelepanelikkus algandmete valikul on sama oluline kui valemi enda tundmine.
