Matemaatika maailmas on vähe teoreeme, mis on ühtaegu nii elegantsed, ajalooliselt märgilised kui ka igapäevaelus praktiliselt rakendatavad, kui seda on Thalese teoreem. Paljude jaoks seostub see kooliajast vaid kuivade jooniste ja tüütute arvutustega, kuid tegelikkuses on tegemist geomeetria ühe alustalaga, mis võimaldab meil mõõta ligipääsmatuid kaugusi ja kõrgusi ilma spetsiaalseid instrumente kasutamata. Kujutage ette olukorda, kus teil on vaja teada kõrge puu pikkust või jõe laiust, kuid teil on taskus vaid mõõdulint ja päike paistab lagipähe – just siin tulebki appi tuhandeid aastaid vana tarkus. Selles artiklis võtame selle kontseptsiooni “puust ja punaseks” lahti, unustame keerulise akadeemilise kantseliidi ja vaatame, kuidas see iidne teadmine töötab ning kuidas seda tänapäeval edukalt kasutada.
Kes oli Thales ja miks see teoreem oluline on?
Enne valemite juurde asumist on oluline mõista konteksti. Thales Miletusest (elas umbes 624–546 eKr) oli Vana-Kreeka filosoof, keda peetakse sageli lääne teaduse ja filosoofia isaks. Erinevalt oma eelkäijatest, kes selgitasid maailma nähtusi müütide ja jumalate tahtega, püüdis Thales leida looduslikke ja loogilisi seletusi. Teda peetakse üheks esimeseks inimeseks, kes rakendas geomeetriat praktiliste probleemide lahendamiseks, näiteks laevade kauguse määramiseks merel või püramiidide kõrguse arvutamiseks.
Thalese teoreemi olulisus seisneb proportsionaalsuse printsiibis. See on vundament, millele on ehitatud suur osa trigonomeetriast, arhitektuurist ja isegi kunstilisest perspektiivist. Ilma selle lihtsa seoseta oleksid paljud inseneritööd ja maamõõtmised olnud ajalooliselt võimatud või äärmiselt keerulised.
Mis on Thalese teoreem ehk kiirteteoreem?
Eesti koolisüsteemis ja matemaatilises terminoloogias tuleb eristada kahte peamist Thalese nimega seotud teoreemi. Üks käsitleb ringjoont ja täisnurka, kuid kõige sagedamini – ja eriti praktilises mõõtmises – räägime me kiirteteoreemist. Teeme selle asja selgeks.
Kiirteteoreemi põhimõte on lihtne: kui lõigata nurga haarasid paralleelsete sirgetega, siis tekivad haaradel võrdelised lõigud. Lihtsamalt öeldes tähendab see seda, et tekkinud “väike kolmnurk” ja “suur kolmnurk” on omavahel sarnased.
Kuidas seda visuaalselt ette kujutada?
Kujutage ette suurt A-tähte või kolmnurka, mille tipp on üleval. Kui tõmbate kolmnurga keskele horisontaalse joone, mis on paralleelne kolmnurga alusega, tekib ülemisse ossa väiksem kolmnurk. Thalese teoreem ütleb meile, et selle väikese kolmnurga külgede pikkused suhtuvad üksteisesse täpselt samamoodi nagu suure kolmnurga vastavad küljed.
Matemaatiliselt võib seda väljendada järgmiselt. Kui meil on kolmnurk ABC ja me tõmbame sirge DE, mis on paralleelne küljega BC (ning D asub küljel AB ja E küljel AC), siis kehtivad järgmised võrdused:
- AD / AB = AE / AC (Väikese kolmnurga külg suhtub suure kolmnurga külge võrdselt teise poole vastava suhtega).
- AD / DB = AE / EC (Lõigud, mis tekivad paralleelsete sirgete vahel, on samuti proportsioonis).
- DE / BC = AD / AB (Väikese kolmnurga alus suhtub suure kolmnurga alusesse samuti nagu küljed).
Samm-sammult juhend: Kuidas mõõta puu kõrgust?
Kõige klassikalisem Thalese teoreemi rakendus on objektide kõrguse mõõtmine nende varju järgi. See meetod töötab, sest päikesekiired on maa peal praktiliselt paralleelsed (kuna päike on väga kaugel). See tekitab kaks sarnast kolmnurka: ühe moodustab puu ja selle vari, teise mingi teadaoleva pikkusega objekt (näiteks kepp või inimene) ja selle vari.
Siin on täpne tegevuskava, kuidas seda teha:
- Valige sobiv aeg ja koht: See meetod töötab kõige paremini päikesepaistelise ilmaga, kui varjud on selgelt nähtavad maapinnal. Maapind peaks olema võimalikult tasane.
- Leidke võrdlusobjekt: Teil on vaja objekti, mille kõrgust te täpselt teate. See võib olla matkakepp, joonlaud või teie enda pikkus. Oletame, et kasutame 1,5 meetri pikkust keppi.
- Mõõtke varjud:
- Pange kepp püsti maasse (90-kraadise nurga all). Mõõtke ära kepi varju pikkus. Oletame, et vari on 2 meetrit.
- Kohe seejärel (et päikese asend ei muutuks) mõõtke ära puu varju pikkus tüvest kuni varju tipuni. Oletame, et puu vari on 10 meetrit.
- Koostage võrrand: Kuna kolmnurgad on sarnased, kehtib suhe:
Puu kõrgus / Puu vari = Kepi kõrgus / Kepi vari - Arvutage tulemus:
Paneme arvud asemele: X / 10 = 1,5 / 2.
Siit saame arvutada X-i (puu kõrgus): X = (1,5 * 10) / 2 = 15 / 2 = 7,5 meetrit.
Nii oletegi saanud teada puu kõrguse ilma sinna otsa ronimata, kasutades vaid lihtsat korrutamist ja jagamist.
Teine Thalese teoreem: Ringjoon ja täisnurk
Kuigi eelnev käsitles kiirteteoreemi, ei saa mööda vaadata ka teisest kuulsast geomeetrilisest tõest, mis kannab Thalese nime. See on eriti oluline ehituses ja inseneerias.
Teoreemi sisu: Iga piirdenurk, mis toetub poolringjoonele (ehk diameetrile), on täisnurk (90 kraadi).
Mida see praktikas tähendab? Kui joonistate ringi, tõmbate läbi keskpunkti joone (diameetri) ja valite ringjoonel suvalise kolmanda punkti, siis ühendades selle punkti diameetri otspunktidega, saate alati täisnurkse kolmnurga. Ehitajad kasutavad seda teadmist sageli selleks, et kontrollida, kas nurgad on täisnurksed, või et konstrueerida täpseid täisnurki suurte objektide puhul, kus nurgikust ei piisa.
Sagedasemad vead teoreemi kasutamisel
Kuigi teoreem ise on lihtne, tehakse selle rakendamisel tihti vigu, mis viivad ebatäpsete tulemusteni. Siin on peamised karid, mida vältida:
- Mõõtühikute segamine: Kõige levinum viga on erinevate mõõtühikute kasutamine (näiteks objekti kõrgus on sentimeetrites, aga varju pikkus meetrites). Enne arvutamist teisendage kõik andmed samasse ühikusse.
- Maapinna kalle: Varju meetod eeldab, et vari langeb tasasele pinnale. Kui puu asub nõlval ja vari langeb mäest alla või üles, ei ole tegemist enam täisnurkse kolmnurgaga samas tasapinnas ja lihtne valem annab vale vastuse.
- Paralleelsuse eiramine kiirteteoreemis: Kui joonisel olevad sirged ei ole tegelikult paralleelsed, siis proportsioonid ei kehti. Praktilistes ülesannetes tuleb veenduda, et võrdlusobjekt on maapinna suhtes sama nurga all kui mõõdetav objekt (tavaliselt vertikaalne).
- Varju tippude ebatäpsus: Hajus vari võib muuta mõõtmise ebatäpseks. Püüdke määrata varju keskkoht või kõige selgem piirjoon.
Korduma kippuvad küsimused (FAQ)
Kas Thalese teoreem kehtib ainult täisnurksete kolmnurkade puhul?
Ei, kiirteteoreem (proportsionaalsete lõikude teoreem) kehtib mistahes kujuga kolmnurkade puhul, tingimusel et lõikaja on paralleelne ühe küljega. Kuid varjude abil kõrguse mõõtmisel tekivad maapinna ja objekti vahel tavaliselt täisnurksed kolmnurgad, mis teeb arvutuse lihtsamaks.
Mille poolest erineb Thalese teoreem Pythagorase teoreemist?
Pythagorase teoreem ($a^2 + b^2 = c^2$) tegeleb ühe täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste vaheliste seostega. Thalese teoreem (kiirteteoreem) tegeleb aga kahe sarnase kolmnurga külgede vaheliste proportsioonidega. Pythagorasega saate leida kolmnurga kolmanda külje, kui kaks on teada; Thalesega saate leida suurusi, võrreldes kahte eri objekti.
Kas ma vajan selle kasutamiseks kalkulaatorit?
Enamasti piisab lihtsast peastarvutusest või paberil arvutamisest, kuna tehted piirduvad korrutamise ja jagamisega. Keerulisemate arvude puhul on kalkulaatorist muidugi abi, kuid matemaatiline loogika on lihtne.
Kuidas kasutada Thalese teoreemi jõe laiuse mõõtmiseks?
Selleks tuleb kaldal konstrueerida kaks sarnast kolmnurka. Valige vastaskaldal orientiir (puu). Seiske otse selle vastas oma kaldal. Kõndige piki kallast teatud maa (nt 10m), pange märk maha. Kõndige veel sama palju (10m). Nüüd liikuge kaldast eemale sisemaale risti kaldaga, kuni näete märki ja vastaskalda puud ühel joonel. Teie kaugus kaldast ongi võrdne jõe laiusega (kuna tekitasite kaks võrdset kolmnurka).
Geomeetria roll kaasaegses tehnoloogias ja disainis
Võiks arvata, et digitaalajastul teevad laserid ja satelliidid kogu töö ära ning vanad teoreemid on vaid ajalooõpikute täide. Tegelikkus on vastupidine. Thalese teoreem ja sarnaste kolmnurkade põhimõtted on sügavalt sisse kirjutatud arvutigraafika algoritmidesse, mida kasutatakse videomängudes, 3D-modelleerimises ja arhitektuuritarkvaras (CAD).
Kui arvuti renderdab 3D-maailma 2D-ekraanile, kasutab ta perspektiiviprojektsiooni, mis põhineb otseselt kiirteteoreemil. Objektide suuruse muutumine kauguses, varjude langemine ja tekstuuride venitus alluvad neile samadele proportsionaalsuse reeglitele, mille Thales tuhandeid aastaid tagasi sõnastas. Samuti kasutavad seda printsiipi kaamerad ja pilditöötlustarkvarad, et korrigeerida läätsede moonutusi või hinnata fotodel olevate objektide tegelikke mõõtmeid.
Kaasaegne geodeesia ja GPS-süsteemid on küll keerulisemad, kuid triangulatsioon – asukoha määramine kolmnurkade abil – on endiselt nende tuumaks. Seega, kui kasutate nutitelefoni kaardirakendust või mängite realistliku graafikaga arvutimängu, töötab taustal vaikselt seesama vana hea Thalese tarkus, aidates maailma meie ümber mõõta ja mõtestada.
