Me puutume tõenäosusega kokku igal sammul, sageli seda ise teadvustamata. Alates hommikusest ilmateatest, mis lubab 30% vihmavõimalust, kuni kindlustuspoliisi sõlmimiseni või loteriipileti ostmiseni – kõik need tegevused põhinevad matemaatilisel tõenäosusel. Inimese aju on aga evolutsiooniliselt programmeeritud otsima mustreid seal, kus neid tegelikult ei eksisteeri, ning hindama riske emotsioonide, mitte faktide põhjal. Seetõttu tundub meile sageli, et pärast mitut ebaõnnestumist “peab” saabuma võit või et teatud numbrid on “õnnelikumad” kui teised. Tõenäosusteooria tundmine on võimas tööriist, mis aitab eemaldada otsustusprotsessist ebausud ja asendada need kaine loogikaga, võimaldades meil hinnata reaalseid võiduvõimalusi mis tahes olukorras, olgu selleks siis investeerimine, strateegiamängud või igapäevane riskijuhtimine.
Tõenäosuse arvutamise põhitõed ja valemid
Enne keerukamate strateegiate juurde asumist on oluline mõista, mis on tõenäosus oma olemuselt. Lihtsustatult öeldes on tõenäosus number vahemikus 0 kuni 1 (või 0% kuni 100%), mis näitab, kui suure kindlusega mingi sündmus aset leiab. Tõenäosus 0 tähendab, et sündmus on võimatu, ja 1 tähendab, et see on vältimatu.
Kõige lihtsam viis tõenäosuse arvutamiseks on klassikaline valem, mis kehtib olukordades, kus kõik tulemused on võrdselt võimalikud (näiteks täringuviske või mündiviske puhul). Valem on järgmine:
P(A) = Soodsad sündmused / Kõik võimalikud sündmused
Võtame näiteks tavalise kuuetahulise täringu. Kui soovime teada, kui suur on tõenäosus veeretada number 6, siis teame, et:
- Soodsaid sündmusi on 1 (ainult üks tahk on numbriga 6).
- Kõikvõimalikke sündmusi on 6 (tahud 1 kuni 6).
Seega on tõenäosus 1/6 ehk ligikaudu 16,67%. See lihtne loogika on vundamendiks kõikidele keerukamatele arvutustele, olgu tegemist pokkerikäe hindamise või börsilanguse ennustamisega. Oluline on alati esimese sammuna määratleda, kui suur on võimalike variantide koguhulk.
Sõltumatud ja sõltuvad sündmused: kriitiline erinevus
Üks levinumaid vigu, mida inimesed võiduvõimaluste hindamisel teevad, on suutmatus eristada sõltumatuid ja sõltuvaid sündmusi. Nende kahe mõiste segiajamine viib sageli valede järeldusteni ja rahaliste kaotusteni.
Sõltumatud sündmused on olukorrad, kus ühe sündmuse tulemus ei mõjuta kuidagi järgmise sündmuse tulemust. Klassikaline näide on mündivise või ruletiratta keerutus. Isegi kui münt on tulnud viis korda järjest “kull”, on kuuendal viskel “kulli” saamise tõenäosus ikka täpselt 50%. Mündil ei ole mälu. Eelnevad visked ei salvestu kuhugi ega mõjuta tulevikku.
Sõltuvad sündmused on aga need, kus eelnev tegevus muudab järgmise tegevuse tõenäosust. Parim näide on kaardipakk. Kui tõmbate 52 kaardiga pakist ühe ässa, siis:
- Esimese ässa saamise tõenäosus oli 4/52 (või 1/13).
- Kuna üks äss on pakist väljas, on järgmise kaardi tõmbamisel pakis alles vaid 51 kaarti ja 3 ässa.
- Järgmise ässa saamise tõenäosus on nüüd 3/51, mis on väiksem kui esialgne tõenäosus.
Sõltuvate sündmuste puhul peab arvutaja pidevalt uuendama “kõikide võimalike sündmuste” ja “soodsate sündmuste” hulka vastavalt sellele, mis on juba juhtunud. See on aluseks näiteks kaardilugemise strateegiatele Blackjackis, kus mängija üritab hinnata, kas pakki on jäänud rohkem kõrgeid või madalaid kaarte.
Kombineeritud tõenäosused: “JA” ning “VÕI” reeglid
Reaalses elus ja keerukates süsteemides huvitab meid harva vaid ühe isoleeritud sündmuse toimumine. Tavaliselt tahame teada, kui suur on tõenäosus, et juhtub mitu asja korraga või et juhtub üks kahest võimalikust asjast. Siin tulevad appi korrutamis- ja liitmisreeglid.
Korrutamisreegel (“JA” reegel): Kui soovime teada tõenäosust, et kaks sõltumatut sündmust juhtuvad mõlemad (näiteks viskame kahe täringuga kaks kuute), peame nende üksiktõenäosused korrutama.
Näide: Tõenäosus saada esimesel täringul 6 on 1/6. Tõenäosus saada teisel täringul 6 on samuti 1/6. Tõenäosus saada mõlemal 6 on 1/6 * 1/6 = 1/36. See seletab, miks on “mitmikpanused” (kombod) spordiennustuses või loteriis nii raskesti võidetavad – iga lisatud tingimus vähendab kogutõenäosust drastiliselt.
Liitmisreegel (“VÕI” reegel): Kui soovime teada tõenäosust, et juhtub üks mitmest teineteist välistavast sündmusest (näiteks viskame täringuga kas 5 või 6), peame nende tõenäosused liitma.
Näide: Tõenäosus saada 5 on 1/6. Tõenäosus saada 6 on 1/6. Tõenäosus saada 5 või 6 on 1/6 + 1/6 = 2/6 ehk 1/3 (umbes 33,3%).
Mänguri eksitus ja suurte arvude seadus
Psühholoogia mängib tõenäosuste tajumisel suurt rolli. “Mänguri eksitus” (inglise keeles Gambler’s Fallacy) on uskumus, et kui mingi sündmus on toimunud oodatust sagedamini, siis tulevikus toimub see harvemini (või vastupidi), et “tasakaalustada” olukorda.
Näiteks, kui ruletis on 10 korda järjest tulnud punane number, panustavad paljud inimesed mustale, uskudes, et musta tulek on nüüd “tõenäolisem”. Matemaatiliselt on see vale. Iga keerutus on sõltumatu ja tõenäosus on alati sama (Euroopa ruletis 18/37). Loodus ei võlgne meile tasakaalu lühikese aja jooksul.
Siin on oluline mõista suurte arvude seadust. See seadus väidab, et tegelikud tulemused hakkavad matemaatilisele tõenäosusele lähenema alles väga suure hulga katsete korral.
- Kui viskate münti 10 korda, võib tulemus vabalt olla 8 korda kull ja 2 korda kiri (80% vs 20%).
- Kui viskate münti 10 000 korda, on tulemus tõenäoliselt väga lähedal suhtele 5000/5000.
Lühiajaline dispersioon ehk kõikumine on põhjus, miks ka halva strateegiaga mängija võib kasiinos lühiajaliselt võita ja miks hea strateegiaga investor võib lühiajaliselt raha kaotada. Tõenäosus töötab alati “pika distantsi” kasuks.
Oodatav väärtus (EV) – kas risk tasub end ära?
Kõige professionaalsem viis võiduvõimaluste ja riskide hindamiseks on Oodatava Väärtuse (Expected Value ehk EV) arvutamine. See näitab, kui palju on oodata keskmist võitu või kaotust iga panustatud ühiku kohta pikas perspektiivis.
Valem on järgmine:
EV = (Võidu tõenäosus * Võidusumma) – (Kaotuse tõenäosus * Kaotussumma)
Vaatame lihtsat näidet sõbraga kihla vedades. Sõber pakub, et viskate täringut. Kui tuleb 6, maksab ta sulle 5 eurot. Kui tuleb mis tahes muu number (1-5), maksad sina talle 1 euro. Kas see kihlvedu on kasulik?
1. Võidu tõenäosus (saad 6) on 1/6. Võidusumma on 5 €.
2. Kaotuse tõenäosus (saad 1-5) on 5/6. Kaotussumma on 1 €.
3. EV = (1/6 * 5) – (5/6 * 1) = 0,83 – 0,83 = 0.
Selle kihlveo oodatav väärtus on null. Pikas perspektiivis ei võida ega kaota kumbki. Kui aga sõber pakuks võidu korral 6 eurot, oleks EV positiivne ja kihlvedu sulle kasulik. Kui ta pakuks vaid 4 eurot, oleks EV negatiivne ja sa peaksid keelduma.
Kasiinomängudes ja loteriides on EV alati mängija jaoks negatiivne (maja eelis). Investeerimises ja äris on eesmärk leida positiivse EV-ga võimalusi, kus potentsiaalne tulu kaalub üles riski suuruse.
Korduma kippuvad küsimused tõenäosuse kohta
Kas on võimalik ennustada loto numbreid matemaatika abil?
Ei. Loteriid (nagu Bingo või Eurojackpot) põhinevad juhuslikkuse generaatoritel (pallid masinas). Iga loosimine on eelmisest sõltumatu. Matemaatika aitab arvutada võidutõenäosust (mis on tavaliselt äärmiselt väike), kuid ei aita ennustada, millised numbrid tulevad. Kõik numbrikombinatsioonid, sealhulgas 1, 2, 3, 4, 5, on võrdse tõenäosusega.
Mis on “maja eelis”?
Maja eelis on matemaatiline eelis, mis on hasartmängudesse sisse ehitatud, et tagada kasiino kasum pikas perspektiivis. Näiteks ruletis on numbrid 1-36, mis maksavad võidu korral 35:1, kuid rattal on ka 0 (ja Ameerika ruletis 00), mis ei kuulu ühegi lihtpanuse alla. See väike erinevus tegeliku tõenäosuse ja väljamakse koefitsiendi vahel ongi maja eelis.
Kas “süsteemid” nagu Martingale töötavad?
Martingale süsteem (panuse kahekordistamine pärast igat kaotust) on matemaatiliselt vigane. Kuigi see võib lühiajaliselt tuua väikeseid võite, on sellel kaks suurt probleemi: laudadel on panuselimiidid (maksimaalne panus), mis takistavad jada lõpmatut jätkamist, ja mängija rahakott ei ole põhjatu. Pikas perspektiivis viib see strateegia suure ja katastroofilise kaotuseni.
Kuidas erineb statistika tõenäosusest?
Lihtsustatult: tõenäosus tegeleb tuleviku ennustamisega teadaolevate reeglite põhjal (me teame, et täringul on 6 külge, mis on tõenäosus?). Statistika tegeleb mineviku andmete analüüsimisega, et tuletada reegleid või mustreid (viskasime täringut 1000 korda, millised on järeldused?).
Tõenäosusteooria rakendamine igapäevases riskijuhtimises
Kuigi tõenäosusteooria on sageli seotud mängude ja kihlvedudega, on selle tegelik väärtus meie igapäevaste finants- ja eluotsuste parandamises. Mõistes matemaatilist loogikat, suudame paremini hinnata kindlustuspoliiside vajalikkust, investeerimisportfelli riske ja isegi karjäärivalikuid.
Kindlustusfirmad on tõenäosusarvutuse meistrid. Nad koguvad tohutul hulgal andmeid, et arvutada täpselt välja sündmuse toimumise tõenäosus ja määrata sellele hind. Tavainimese jaoks on kindlustus “negatiivse oodatava väärtusega” tehing (maksate keskmiselt rohkem sisse kui välja saate), kuid see on ratsionaalne otsus, sest see maandab riski sündmuse vastu, mis oleks rahaliselt hävitav (nagu maja põlemine). Siin kaalub turvatunne ja katastroofi vältimine üles matemaatilise “kahjumi”.
Investeerimises aitab tõenäosusmõtlemine vältida emotsionaalseid otsuseid. Selle asemel, et otsida “kindlat võitu”, mida ei eksisteeri, koostab tark investor portfelli, kus on hajutatud erineva riski ja tootlusega varad. Mõistes, et turud on oma olemuselt stohhastilised (juhuslikud) lühiajalises vaates, kuid omavad ajaloolist positiivset trendi pikas vaates, suudab investor taluda ajutisi langusi ilma paanikata. Tõenäosuse tundmine ei anna meile kristallkuuli tuleviku nägemiseks, kuid see annab meile parima võimaliku “taskulambi”, et valgustada teed läbi ebakindluse udu.
